前節で学んだfun構文は再帰的な定義を許します． すなわち，この構文で定義される関数funNameを，関数定義本体 exprの中で使用することができます． このような再帰的な関数定義は，以下のような手順で設計していけば， 通常の算術関数と同じように自然に定義できるようになります．

1. 1.

   関数funNameの振る舞いをあらかじめ想定する．

2. 2.

   想定された振る舞いをする関数funNameがあると仮定し， 受け取った引数がparamの場合に返すべきか値を表す式expr を定義する．

例えば，第7.2節で紹介した階乗を計算す る関数factは以下のように設計できます．

1. 1.

   factを階乗を計算する関数と想定します．

2. 2.

   階乗を計算する関数factを使い，階乗の定義に従い，返すべき値を 以下のように定義する．

   1. (a)

      引数が0の場合，0の階乗は1であるから，1を返す．

   2. (b)

      0以外の一般の引数nの場合，階乗の定義から， n * fact (n - 1)を返す．

この２つの場合を単に書き下せば，以下の定義が得られます．

# fun fact 0 = 1
>   | fact n = n * fact (n - 1);
val fact = fn : int -> int

以上の考え方に従い種々の再起関数を簡単に定義できます． たとえば，すべての数の和を求める関数sumや引数$n$に対して与 えられた定数$c$の$n$乗を計算するpowerなども，これら関数がすでにあ ると思うことによって，以下のように簡単に定義できます．

fun sum 0 = 0
  | sum n = n + sum (n - 1)
fun power 0 = 1
  | power n = c * power (n - 1)

sumやpowerが想定した振る舞いをすると仮定すれば， 関数が返す値は正しいので，関数全体の定義も正しいことがわかります．